|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Maple: raaklijn aan een functie met y en x
Beste mensen,
Gevraagd is om met behulp van een epsilon-delta bewijs aan te tonen dat de functie f(x) = e^(-1/x) als x $>$ 0, en 0 als x $\le$ 0 rechts continu is. Tot dusver is het mij gelukt om dit voor de gevallen x $<$ 0 en x = 0 te bewijzen. Het wil mij echter niet lukken om dit te bewijzen voor het geval dat x $>$ 0. Ik wil dus aantonen dat als x het getal y van rechts nadert, beide positief, er dan geldt dat de limiet van deze benadering over de functie e^(-1/x) gelijk is aan e^(-1/y). Het kiezen van een geschikte delta lijkt bij mij het probleem. Ik heb heel wat rekenwerk verricht en ben hierop uitgekomen: e^(-1/x) - e^(-1/y) $\le$ e^(-1/(y+delta) - e^(-1/y). Uiteindelijk wil ik dus hebben dat e^(-1/(y+delta) - e^(-1/y) $<$ epsilon (met epsilon $>$ 0 uiteraard). Het wil mij dus écht niet lukken om de juiste delta hiervoor te kiezen. Het lijkt wel of ik in een paradox terecht kom. Hulp is gewenst.
Antwoord
Je kunt ook gebruiken dat $f$ op $(0,\infty)$ een samenstelling van continue functies is: gegeven $\epsilon > 0$ is er een $\eta > 0$ zo dat als $|-\frac1y-z| < \eta$ dan $|e^{-\frac1y}-e^z| < \epsilon$ en daarbij bepaal je een $\delta $>$ 0$ zo dat als $|y-x| < \delta$ dan $|-\frac1y-(-\frac1z)| < \eta$.
Je kunt ook de middelwaardestelling gebruiken: de afgeleide van $e^{-\frac1x}$ is $\frac1{x^2}e^{-\frac1x}$ en deze is begrensd op $[y,\infty)$ en dat kun je gebruiken om bij elke $\epsilon$ een $\delta$ te bepalen.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
